Matematika Teknik

HASIL KALI SKALAR DUA VEKTOR

            Perkalian Dua Vektor ini dibagi menjadi 2 yaitu Perkalian Titik Dua Vektor (dot product) dan Perkalian Silang Dua Vektor (cross product).

Kali ini saya akan membahas PERKALIAN TITIK DUA VEKTOR (dot product).

            Perkalian titik dari dua buah vector A dan B dinyatakan oleh A.B (dibaca A titik/dot B). Untuk lebih jelas, berikut didefinisikan perkalian titik pada bidang:

Secara geometri: Didefinisikan sebagai perkalian antara besarnya vektor-vektor A dan B dan cosinus sudut θ antara keduanya. 

  

Secara analitik: Ada dua definisi karena berbeda ruang saja.

Ruang 2 : Misalkan A=A₁i + A₂j dan B=B₁i + B₂j adalah dua vektor pada bidang dengan sistem koordinat x dan y, maka A.B didefinisikan:

Ruang 3 : Vektor pada bidang dengan sistem koordinat  x, y, dan z,

Dimana A=A₁i + A₂j + A₃k dan B=B₁i + B₂j + B₃k, maka A.B didefinisikan:                   

Sebelum melangkah ke contoh-contoh soal maka lihatlah sifat-sifat yang dimiliki oleh perkalian titik sebagai berikut :

Misalkan A, B dan C adalah tiga buah vector dan “n” adalah bilangan real, maka berlaku :

   1.      A.A = |A|²

   2.      A.B = B.A (hukum komutatif)

   3.      A.(B+C) = A.B + A.C (hukum distributif)

   4.      n(A.B) = (nA).B = A.(nB) = (A.B)n

   5.      0.A = 0

   6.      Jika A.B = 0, dimana A dan B adalah vector-vektor tak nol, maka A tegak lurus B

   7.      |A.B| ≤ |A||B|

   Mari..!! kita terapkan materi diatas ke soal-soal di bawah ini :

   Contoh Soal :
1.      Jika |a|= 8, |b|=4, dan sudut kedua vector adalah 60̊. Maka hitungkah perkalian titik a.b
      Jawab : Gunakan Definisi Geometri
      a.b = |a||b|.cos θ
            = 8 . 4 . cos 60̊
            = 32 . ½ 
            = 16

2.      Jika A = 9i + 2j - 3k dan B = 2i – 6j + 4k, Maka hintunglah perkalian titik A.B
      Jawab : Gunakan Definisi Analitik
      A.B = (9i.2i) + (2j.-6j) + (-3k.4k)
             = 18 + (-12) - 1
             = 5

   Ingat !! Rumus Paten
   Pertama : 
      Jika saling tegak lurus atau dengan sudut cos 90̊ maka nilai yang dihasilkan selalu bernilai NOL.

       Pembuktian 
      Contoh Soal : Jika |a|=6, |b|=5 dan sudutnya 90̊. Hitung a.b
                            Jawab : a.b = 6.5 cos 90̊
                                              = 30 . 0
                                              = 0

   Kedua : 
      Jika saling sejajar atau dengan sudut cos 0̊ maka nilai dari cos 0̊ adalah SATU.

      Pembuktian 
      Contoh Soal : Jika |a|=8, |b|=9 saling sejajar, maka tentukan a.b
                            Jawab : a.b = 8.9 cos 0̊
                                              = 72 . 1
                                              = 72

Tabel Trigonometri